Beequation
Leren › Onderwerpen › Verhoudingen en patronen
Uitleg per onderwerp
Verhoudingen en patronen
Bij verhoudingen gaat het om hoeveelheden die met elkaar meegroeien of meekrimpen. Bak je twee keer zoveel pannenkoeken, dan heb je twee keer zoveel bloem, melk en eieren nodig. Drie kilo appels kost drie keer zoveel als één kilo. En op een kaart staat elke centimeter voor een vast stuk van de echte weg. Bij patronen zoeken kinderen de regel achter een rij kralen, figuren of getallen, zodat ze kunnen voorspellen wat er komt. Het teken 1 : 2 bij dit onderwerp is de manier waarop je een verhouding opschrijft. Je leest het als ‘1 staat tot 2’: bijvoorbeeld 1 schep suiker bij elke 2 scheppen bloem.
Algebra met letters, zoals x + 3 = 10, komt pas op de middelbare school. Op de basisschool leggen kinderen daar de basis voor: ze zoeken ontbrekende getallen, ontdekken regels in rijen, leren de rekenregels met haakjes en werken met de verhoudingstabel, een model dat op Nederlandse scholen een grote rol speelt.
Wat kinderen per groep leren
Verhoudingen en Verbanden (patronen, tabellen en grafieken) zijn twee van de vier domeinen van de referentieniveaus, de landelijke afspraken over wat kinderen aan het eind van groep 8 beheersen. De tabel volgt de tussendoelen per groep van SLO, het landelijke expertisecentrum voor het curriculum. Het precieze moment verschilt per school en per rekenmethode.
| Groep | Wat ze leren |
|---|---|
| Groep 1 en 2 | Patronen naleggen, afmaken en zelf bedenken: op de kralenplank, met rijgkralen en met mozaïek (rood, blauw, rood, blauw…). Groottes vergelijken in een situatie (‘hoe groter je bent, hoe groter je kleren’). Eerlijk verdelen met echte spullen, tot ongeveer 12. |
| Groep 3 | Patronen voortzetten en tellen in sprongen of groepjes. De splitsingen tot en met 10 uit het hoofd, ook als er een getal ontbreekt (7 = 4 + …). Een minsom controleren met een plussom: 12 − 6 = 6, want 6 + 6 = 12. Eerste verhoudingen in woorden: hoe meer kinderen, hoe meer stoelen. |
| Groep 4 | Tellen in sprongen van 2, 5 en 10, even en oneven getallen. Ontbrekende getallen vinden door aan te vullen (… + 7 = 15). De helft van een hoeveelheid. Een eerste, al ingevulde verhoudingstabel, bijvoorbeeld bij een recept. |
| Groep 5 | Getallenrijen zoals 100, 93, 86, 79 (steeds 7 minder). Ontbrekende getallen bij keer- en deelsommen: … × 4 = 32. De verhoudingstabel zelf gebruiken bij recepten, de prijs per kilo of per liter en snelheid in kilometer per uur. |
| Groep 6 | Verhoudingen als 4 : 5 en als breuk ⅘. ‘Zoveel op de zoveel’: 1 op de 3. De prijs per stuk, per kilo of per liter. Schaaltekeningen, eerst in woorden. Regels in woorden, zoals de omtrek van een rechthoek: 2 × (lengte + breedte). Symmetrische patronen en vlakvullingen ontwerpen. |
| Groep 7 | Procenten tot 100%, vaak met de verhoudingstabel. Schaal 1 : 100 op een plattegrond. Een foto vergroten zonder dat hij vervormt. Een deling als breuk schrijven: 2 pizza's eerlijk verdelen over 3 kinderen is 2 : 3 = ⅔ pizza per kind. Een lijngrafiek tekenen en coördinaten aflezen. |
| Groep 8 | De volgorde van bewerkingen, ook met haakjes: 4 + 5 × 6 = 34. Schaal 1 : 50.000 op een kaart. Procenten boven de 100%, wisselkoersen en bevolkingsdichtheid. Wat er met de oppervlakte gebeurt als je iets vergroot. Trends in grafieken herkennen. |
De belangrijkste ideeën
1. Een patroon volgt een regel
Kleuters beginnen met herhalende patronen: rood, blauw, rood, blauw op de kralenplank, of klap, stamp, klap, stamp. Ze leren eerst het stukje te zien dat steeds terugkomt. Daarna komen groeiende patronen, die bij elke stap groter worden: 1 rode kraal, 2 blauwe, 3 rode, 4 blauwe… In groep 4 en 5 worden het getallenrijen met een vaste sprong, vooruit of achteruit. De vraag is steeds dezelfde: wat is de regel, en klopt die regel de hele rij door?
Kinderen die verder willen, zoeken een regel die meteen naar elke plek in de rij springt. In 3, 7, 11, 15 is elk getal 4 keer zijn plaats, min 1: het eerste is 4 × 1 − 1 = 3, het tweede 4 × 2 − 1 = 7. Het tiende getal is dus 4 × 10 − 1 = 39, zonder de hele rij uit te schrijven.
2. Het isgelijkteken: aan beide kanten evenveel
Kinderen lezen = als ‘is’: 3 + 4 is 7. Zo raken ze gewend aan het idee dat er na het isgelijkteken altijd het antwoord komt. Dat gaat goed bij 3 + 5 = 8, maar loopt mis bij 8 = 3 + 5 of bij 6 + … = 4 + 5. Denk aan een weegschaal: links en rechts moet evenveel liggen. 4 + 5 is 9, dus 6 + … moet ook 9 zijn. Het ontbrekende getal is 3.
3. Terugrekenen met de omgekeerde som
Optellen en aftrekken maken elkaar ongedaan, en vermenigvuldigen en delen ook. Op school heet dat terugrekenen, en het is de sleutel bij bijna elke som met een ontbrekend getal. Bij … − 9 = 7 vraag je: ‘van welk getal haal ik 9 af om 7 over te houden?’ Je telt de 9 er weer bij: 7 + 9 = 16. Bij … × 4 = 32 deel je juist: 32 : 4 = 8. Controleer daarna door het getal in te vullen: 16 − 9 = 7 en 8 × 4 = 32.
Lees het isgelijkteken af en toe hardop als ‘is evenveel als’, en schrijf sommen ook eens andersom op, met de uitkomst links (10 = 4 + …). Kinderen die het antwoord altijd rechts zien staan, lopen vast zodra het een keer links staat. Die gewoonte is later lastig af te leren.
4. Rekenregels en formules
In groep 8 leren kinderen in welke volgorde je rekent als er meer bewerkingen in één som staan: eerst wat tussen haakjes staat, dan keer en gedeeld door, en pas daarna plus en min. Keer en gedeeld door zijn even sterk, net als plus en min: die reken je van links naar rechts uit. Dus 4 + 5 × 6 = 4 + 30 = 34, en niet 54. Wil je eerst optellen, dan zet je haakjes: (4 + 5) × 6 = 9 × 6 = 54.
Misschien ken je zelf nog het ezelsbruggetje ‘Meneer Van Dale Wacht Op Antwoord’. Pas daarmee op: het lijkt alsof keer altijd vóór gedeeld door gaat, en plus vóór min. Maar 12 : 3 × 2 reken je van links naar rechts: 12 : 3 = 4 en 4 × 2 = 8. Wie eerst 3 × 2 doet, komt op 12 : 6 = 2 uit, en dat is fout.
Die volgorde is niet zomaar bedacht. Koop je 1 zak chips van € 2 en 3 blikjes drinken van € 1,50, dan schrijf je € 2 + 3 × € 1,50. De drie blikjes reken je eerst uit (€ 4,50) en daar komt de chips bij: € 6,50.
Een formule is een vaste rekenregel, op de basisschool meestal in woorden. De omtrek van een rechthoek is 2 × (lengte + breedte). Een moestuintje van 7 meter lang en 4 meter breed heeft dus 2 × (7 + 4) = 2 × 11 = 22 meter hek nodig. De oppervlakte is lengte × breedte: 7 × 4 = 28 m².
5. De verhoudingstabel
De verhoudingstabel is een tabel met twee rijen die bij elkaar horen, zoals gram en prijs, of personen en eieren. De gouden regel: wat je boven doet, doe je ook onder. Je mag delen, vermenigvuldigen en kolommen bij elkaar optellen, in kleine, handige stappen. Zo hoeven kinderen niet in één keer de goede som te zien.
Kolommen optellen mag ook: 1000 gram + 300 gram = 1300 gram kost € 12,00 + € 3,60 = € 15,60. Met dezelfde tabel rekenen kinderen later procenten, snelheid en schaal uit. Fietst Fenna 16 kilometer per uur en woont ze 4 kilometer van school, dan gaat het zo: 16 km in 60 minuten, 8 km in 30 minuten, 4 km in 15 minuten. Ze is er in een kwartier.
Recepten werken net zo. Hieronder staat een recept voor pannenkoeken voor 4 personen, omgerekend naar 6. Via 2 personen (eerst halveren, dan keer 3) blijven de getallen handig:
| Ingrediënt | Voor 4 personen | Voor 2 personen (: 2) | Voor 6 personen (× 3) |
|---|---|---|---|
| Bloem | 250 g | 125 g | 375 g |
| Melk | 500 ml | 250 ml | 750 ml |
| Eieren | 2 | 1 | 3 |
6. ‘Zoveel op de zoveel’, verhouding en breuk
Een ketting heeft steeds 2 roze kralen en dan 3 blauwe. De verhouding roze staat tot blauw is 2 : 3. Die vergelijkt een deel met een ander deel. Van alle kralen is ⅖ roze, want van elke 5 kralen zijn er 2 roze. Dat vergelijkt een deel met het geheel. Met het strokenmodel kun je 20 kralen in die verhouding verdelen: 5 gelijke vakjes, 20 : 5 = 4 kralen per vakje, dus 8 roze en 12 blauwe kralen. Controle: 8 + 12 = 20.
Bij ‘zoveel op de zoveel’ is het tweede getal juist het geheel. In de groep van meester Ruben zitten 27 kinderen, en 1 op de 3 komt lopend naar school. Dat zijn er 27 : 3 = 9, oftewel ⅓ van de klas. De andere 18 komen op de fiets. Lopers en fietsers staan dus in de verhouding 9 : 18, en dat is hetzelfde als 1 : 2. ‘1 op de 3’ en ‘1 : 2’ beschrijven hier precies dezelfde klas. Zo hangen verhoudingen samen met breuken en procenten: 1 op de 4 is ¼, en dat is 25%.
Ranja aanlengen werkt ook met delen. Staat er op de fles ‘1 deel siroop, 4 delen water’, dan bestaat de kan uit 5 delen. In een kan van 1 liter (1000 ml) gaat dus 1000 : 5 = 200 ml siroop en 800 ml water. Lees bij dit soort sommen goed wat er staat: gaat het om twee delen naast elkaar, of om een deel van het geheel?
7. Schaal: vergroten en verkleinen
Wil je iets vergroten of verkleinen zonder dat het vervormt, dan gaat alles keer of gedeeld door hetzelfde getal. Een foto van 10 bij 15 cm die je twee keer zo groot laat afdrukken, wordt 20 bij 30 cm. Zou je alleen de breedte verdubbelen, dan krijgt iedereen op de foto een brede kop. In groep 8 ontdekken kinderen dat de foto bij zo'n vergroting niet 2 maar 4 keer zoveel oppervlakte krijgt: 150 cm² wordt 600 cm².
De schaal van een plattegrond of kaart vertelt hoeveel kleiner alles is getekend. Schaal 1 : 100 (‘één op honderd’) betekent: 1 cm op papier is 100 cm, dus 1 meter, in het echt. Is het klaslokaal op de plattegrond 9 cm lang en 7 cm breed, dan is het echte lokaal 9 bij 7 meter. Op een fietskaart met schaal 1 : 50.000 is 1 cm in het echt 50.000 cm, en dat is 500 meter. Een route van 6 cm op de kaart is dus 6 × 500 = 3000 meter, oftewel 3 km.
Veelgemaakte fouten
- Na = komt altijd het antwoord: bij 4 + 5 = … + 2 een 9 invullen in plaats van een 7.
- Verkeerd terugrekenen: bij … − 9 = 7 uitrekenen dat 9 − 7 = 2, in plaats van 7 + 9 = 16.
- Alles van links naar rechts uitrekenen: 4 + 5 × 6 = 54 opschrijven. Keer gaat voor plus, dus het is 34.
- Optellen in plaats van vermenigvuldigen: een recept voor 4 personen omrekenen naar 6 door van alles 2 extra te nemen.
- Boven en onder iets anders doen in de verhoudingstabel: boven verdubbelen en onder 2 erbij doen. Wat je boven doet, doe je ook onder.
- Verhouding en breuk door elkaar halen: bij roze en blauw in de verhouding 2 : 3 is ⅖ van de kralen roze, niet ⅔.
- Overal een verhouding zien: droogt één T-shirt in 2 uur aan de waslijn, dan zijn drie T-shirts naast elkaar niet pas na 6 uur droog.
- Een regel raden na twee getallen: in 2, 4, … kan het volgende getal 6 zijn (steeds 2 erbij) of 8 (steeds verdubbelen). Kijk dus altijd of de regel de hele rij klopt.
Spelletjes van vijf minuten voor thuis
- Onder de beker. Leg 10 pepernoten op tafel, verstop er een paar onder een beker en vraag hoeveel er onder de beker liggen. ‘Ik zie er 6, dus er liggen er 4 onder.’
- Ik denk aan een getal. ‘Ik denk aan een getal, doe er 5 bij en dan krijg ik 12. Aan welk getal dacht ik?’ Wissel daarna van rol en laat je kind de raadsels bedenken.
- De getallenmachine. Je kind noemt een getal. Jij doet het in stilte keer 2, telt er 1 bij op en zegt de uitkomst: van 3 maak je 7, van 5 maak je 11. Wie raadt als eerste de regel?
- Kralen rijgen. Rijg samen kralen of penne in een herhalend patroon, en daarna in een groeiend patroon (1 rood, 2 blauw, 3 rood…). Wat komt er nu? Hoeveel kralen heb je nodig voor het volgende groepje?
- Ranja aanlengen. Bij 1 deel siroop en 4 delen water: hoeveel siroop gaat er in een kan van 1,5 liter? (Samen 5 delen, dus 1500 : 5 = 300 ml siroop en 1200 ml water.) Bak je samen iets, reken het recept dan eens om voor twee keer zoveel mensen, of voor de helft.
De uitdaging van IndieIndie legt een rij honingraatcellen van ijslollystokjes. Cellen die naast elkaar liggen, delen een zijkant. Voor 1 cel heeft ze 6 stokjes nodig, voor 2 cellen 11 en voor 3 cellen 16. Hoeveel stokjes heeft ze nodig voor een rij van 10 cellen? Bekijk het antwoord
De eerste cel heeft 6 stokjes nodig. Elke nieuwe cel deelt een zijkant met de cel ervoor, dus er komen steeds 5 stokjes bij. Voor 10 cellen is dat 6 + 9 × 5 = 6 + 45 = 51 stokjes. Als regel: stokjes = 5 × cellen + 1, en 5 × 10 + 1 = 51. Let op: dit is geen verhouding. 2 cellen hebben niet twee keer zoveel stokjes nodig als 1 cel (dat zou 12 zijn), maar 11.
Gratis werkbladen verhoudingen en patronen
Print ze om thuis of in de klas te oefenen. Op de tweede bladzijde van elk werkblad staan de antwoorden.
Welk getal ontbreekt?Groep 5, Groep 6 · Vind het getal in het hokjeDownload pdfSnelle antwoorden
Niet met letters: vergelijkingen zoals x + 3 = 10 komen op de middelbare school. Op de basisschool leggen kinderen wel de basis, met patronen bij de kleuters, ontbrekende getallen zoals 7 = 4 + … in groep 3, regels in woorden en de volgorde van bewerkingen in groep 8.
Een tabel met twee rijen die bij elkaar horen, bijvoorbeeld gram en prijs. Wat je boven doet, doe je ook onder: halveren, verdubbelen, door 10 delen of kolommen optellen. Kinderen gebruiken hem vanaf groep 4 of 5 bij recepten, prijzen, snelheid, procenten en schaal.
Dat alles 100 keer kleiner is getekend: 1 cm op de tekening is 100 cm, dus 1 meter, in het echt. Bij schaal 1 : 50.000 is 1 cm op de kaart 500 meter in het echt. Kinderen leren dit in groep 7 en 8.
Bij ‘1 op de 3’ vergelijk je een deel met het geheel: 1 van elke 3, dus ⅓. Bij 1 : 2 vergelijk je twee delen met elkaar: 1 tegenover 2. Komt 1 op de 3 kinderen lopend naar school, dan staan lopers en fietsers in de verhouding 1 : 2.
Oefenen met Indie
Beequation Kids maakt van rekensommen honingraatpuzzels. Zit je kind even vast, dan geeft Indie de bij een tip. Zonder advertenties en zonder gegevensverzameling.